1. numbpart@trinitas.mju.ac.kr 의 목적     [ English ]
수렴하는 무한급수의 형태로 주어지는 Rademacher의 공식을 사용하여, 주어진 자연수 n 을 다른 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수 p(n) 를 정확하게 계산하여 전자메일 의뢰자에게 그 결과를 알려 줌.

2. 소개
정의에 의하여, 우리는 주어진 자연수 n을 다른 자연수의 합으로 non-increasing 하게 나타내는 방법의 수를 p(n) 으로 나타낸다. 예를 들면, n 이 5 일 때, 우리는 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1 와 같이 총 7 가지의 방법으로 5 를 나타낼 수 있으므로, p(5) = 7 이다. 그러나, 본 센터에서 제공 중인 numbpart@trinitas.mju.ac.kr InetCompu Service에 의한 계산 결과

p(1) = 1

p(10) = 42 (계산소요시간: 2.68초)

p(100) = 190,569,292 (계산소요시간: 2.88초)

p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 (계산소요시간: 2.90초)

p(10000) = 36,167,251,325,636,293,988,820,471,890,953,695,495,016,030,339,315,650,422,08
1,868,605,887,952,568,754,066,420,592,310,556,052,906,916,435,144 (계산소요시간: 3.45초)

에서 알 수 있듯이, 입력인 자연수 n 이 증가함에 따라 p(n) 의 값은 지수적으로 매우 빨리 커짐에 유의하자. 이곳 numbpart@trinitas.mju.ac.kr 에서는, 아래의 정리에서와 같이, 1937년 경에 수학자 Rademacher에 의하여 발견된 수렴하는 무한급수의 형태로 주어지는 매우 복잡하나 이론적으로 정확한 공식을 사용하여 p(n) 의 값을 계산한다:

Rademacher's Theorem for p(n) 

Rademacher의 공식은 점화식이 아니므로, 특히, 예를 들어, n = 510,000 과 같이, n 이 상당히 큰 자연수일 때 지금까지도 p(n) 의 값을 매우 효과적으로 계산할 수 있는 거의 유일한 공식으로 알려져 있다. 예를 들어, Computer Algebra System (CAS) 인 Maple의 명령어인 numbpart 를 사용하여 Maple 내에서 p(510,000) 의 값을 계산하려고 하면, 이 명령어가 점화식이므로, 아무리 오랜 계산시간을 할애한다 하더라도 너무나 큰 양의 메모리를 필요로 하게 되어, 사용 가능한 주 메모리의 크기가 128Mbytes 이라 하더라도, 계산이 불가능하게 된다. 실제로, 이보다 작은 n = 100,000 일 때 Maple을 사용하여 p(n)의 값의 계산 가능 여부를 확인해 볼 것을 권한다. 

그러나, Rademacher의 공식을 사용하여 p(n)의 값을 계산하는 데에는 전혀 다른 종류의 문제가 기다리고 있다. 즉, 전체 계산과정에 있어 유효숫자의 크기가 매우 다른 실수 근사값들의 부분 합이 알지도 못하는, 즉 구하려고 하는, 자연수 값인 p(n)으로 근사적으로 수렴하는 과정을 매우 정확하게 추적하면서 계산하여야 하므로, 효과적일 뿐만이 아니라 매우 신뢰성 있는 프로그램을 짜기 위하여 현실적으로 해결하여야 하는 매우 심각한 문제들이 몇 가지 있다. 아래의 제 6항에 예시한 예제를 살펴보기 바란다.   

3. 기여자: Rademacher의 공식을 사용하여 p(n) 의 값을 계산하는 데 현재 사용 중인 프로그램은 명지대학교 수학과 소순태 교수가 Computer Algebra System (CAS) 인 Reduce를 사용하여 구축하였다. 소순태 교수는, Additive Number Theory 분야의 학문적 발전에 평생을 바쳐 기여한 미국 펜실베니아 주립대학교 수학과 George Andrews 교수 (주: George Andrews 교수는 Rademacher 교수의 직계 제자임)의 업적을 기념하기 위하여, 이 프로그램을 구축하였다. 

4. Notes: 
4-1. 현재 사용 중인 프로그램은 매우 신뢰할 수 있으며 또한 매우 효과적이다. 사실, 이 프로그램을 사용하여 n <= 22,000,000 정도의 크기의 n 에 대한 p(n)의 값을 매우 정확하게 계산할 수 있으며, n <= 22,000,000 과 같은 상한 값은, 사용 중인 Reduce 프로그램이 숫자의 크기가 10^5000 (즉, 10의 5000승) 정도로 매우 커질 때 input/output buffer가 바르게 처리할 수 있는 숫자의 유효 자리수의 크기가 제한적이기 때문에 정해지는 값이다.
4-2. 접수된 전자메일을 에러없이 처리하기 위하여, Microsoft 사의 Outlook Express에서 New mail > Alt+O > Alt+X (with No Encryption) 을 사용하여 numbpart@trinitas.mju.ac.kr 로 다음의 제 5항의 설명에 따라 작성한 전자메일을 보낼 것을 권장한다. 

5. 전자메일을 보내는 방법: 본문이, 예를 들어, 

input: n=1234567

인 plain-text 양식의 전자메일 (예를 들어, Microsoft Outlook Express 일 경우에는 New mail > Alt+o > Alt+x (with No Encryption)) 을 numbpart@trinitas.mju.ac.kr 로 보낸다. 그러면, 전자메일의 도착 즉시 p(1234567)의 값을 자동적으로 계산하여 그 결과와 본 서버에서 전체 계산에 소요된 시간(timex report)를 담은 전자메일을 송신자에게 즉시 발송하게 됨.

[주의] 복잡하지 않은 계산을 위 전자메일 주소로 의뢰하였을 경우에는 대개 3 - 4 분 이내에 결과를 받아 볼 수 있습니다.  그러나, 의뢰한 계산을 수행한 후 그 계산결과를 답신으로서 송신자에게 보내 드렸으나, (i) 송신자의 주소가 틀리거나 (ii) 혹은 송신자의 전자메일 통이 다른 전자메일로 가득 차 있어, 송신자 측에 제대로 접수가 되지 않고 되돌아 오는 경우가 간혹 있으니, 위의 제 5항의 전자메일 주소로 계산을 의뢰한 후 일정시간 이상 기다려도 답신이 없을 경우에는, 본인의 메일계정의 상태를 점검하여 위의 (i) 과 (ii)의 문제를 해결한 후 다시 한 번 위의 제 5항과 같이 전자메일을 보내 주시면 되겠습니다.  

6. 예제
만약에 본문이

input: n=1234567

인 전자메일을 numbpart@trinitas.mju.ac.kr 로 보내면, 다음과 같은 결과를 받아보게 될 것입니다.

Comment The following is the requested input:
n:=1234567;

Comment Here is the result of computation:$

comment t(k) = the k-th term in Rademacher's formula for p(n) when n := 1234567$

t(1) := 

715490880908500090668830204971571483282076915621981638292949344880079431938962\
576616856283139608159603320390006454590993465575888598311877101185251260952638\
104333567814638303161155133579697248237093428793577819038063905854717015597399\
585216283540966035978582677467955302786975214400242521093365769853143215687615\
543827820468133192277814647650183125609480408170481114482606332411772207385499\
476998482655218827261186031705023313307874014273301300297053610135197709439985\
904984032185374946844419382113860443967309684571387268375077055167683611188310\
415800797515219481885264654498863641033307739629340318142909047961816717574545\
038063302180706901599594598480550744900310304080125051702741506545540809585926\
876061043777766937526852464833287846420247276056627723451320743239594568836087\
432035753579659123314630190205931905650212235380650496590914435629227555569797\
394845013526086367203950617996367530901222036993907458991864726450938183881600\
915881548287019564815637120286792310876464204116153233297878185629018841656811\
492995304925738482756784778728332435010508826332097457790418230853782763077548\
360783957283548013266304181056802001515254028085673569648455221323427253150692\
9143817463763141204784660574943985675960042312092398756262386.9437436834509$

t(2) := - 

646384239560223084468700078738095411758409495443243448093736135967739258882037\
774527614475653437409318783504740805421610292215347524845105940560984611714986\
786623749874235920746618953914502376843040089031989394265073634257807077244404\
062352503105930587904264977702974512649074341050229731966175604233066030330234\
307406911681681257612172291356124526629568956906587894503947646784103577388980\
679126431730521704470046148001122592696950681684430913210551779367779461340209\
322424247155373016995996438462775669191018313758462216767191962451490325866372\
890617490148069677199837667644858301897020579862678726227528312154.43224937895\
289626087241816615742503234155822879046613613871682343315066147152909044535916\
906024468807661544821208988802453277436215206927921023661052398425720471980381\
186656214712329313724912565360091942684759308908398989058116187663004117493434\
550406247118803447618217561515426098117407396824086017201837399416605815410800\
671611760364900601446083131889788446904043469498265553408510457153360214808927\
791050228677220975390691458630333307662787529491078400913901859210397263395358\
130382346431862027367204140792889522864494160543847958997683652130796271083358\
94726808151860595791817573865577852076880266129281583234465969336811167393$

t(3) := - 

181785400593037617890851877545890519094020758838796249145498356571083421061165\
098430182568600222590696691333940618327041936790907944356232309774007217402686\
072092782918146719250091774850108250597131815736721173938655810550922026404583\
130103620349489712271261765263412393535148217298250510846721377978369195408381\
123994418705839230256228597215235786660663726651069494084793307496328908494441\
9496044749300817.8922369923143297596496160441656509093800091717980493332763507\
066148332906189091605658933644323852267288380612012562387202450215380015555977\
422834132905177917299942642526842965627249334825102755343353512905921463457720\
6$

t(4) := - 

124973345432793477526913218024113417024916155596319716123900959167935831005396\
172378408257248628952119954120827771902926635195618013278515505329438529964191\
820497465818303503321246571393565243703401860700054404240912760797087177747848\
808228621184547854673600854457728334300730549220657162677022911202661.47052287\
194938589447453633846882435831094510846161917003127791070676100195557686711602\
77671682001505642728029993835$

t(5) := 0$

t(6) := 

186238997239247843684104917101252915830122485133578995034766181136075336596004\
553993764863958521236375120902602085971551899688731898216825401411241711584224\
19541853496183638018799857080744964643891233.553683488467194339233853874863015\
683384188799771782342369985551455363359616337979504556822421726439688442342012\
7818$

t(7) := - 

782520273130950940627774875109867272632972467666186471049681298447822193631719\
962723187428236919898967706007960079055845751830930524810709495156506495451752\
34028819784065.000861224202169752573014341824510568499276$

t(8) := - 

604754911052939226456034391872992447704633570202965492427589981678301017516836\
2266770223794822400334715770801668512798250957201315293313641045366287.2924012\
566952941688303244127821482$

t(9) := 

531671160751248513632888911446446531950380552206448678891567846550022017258961\
9722996751778766707254670302614416212425287699988557.7585664016381091472487769\
35273$

t(10) := 0$

t(11) := 

324921599983802460692676060173448137333975531659562884202821463306518012302065\
7792394925249969620405958323.121107775976570607721068249856007803$

t(12) := 

112484373196395077295180066358650407543584937526839868782854081117429085958646\
5750905992364267318.561725300705727046801$

t(13) := 0$

t(14) := 

213088786218440868550405688355782398118118974493463188161881742914479812575674\
7331.586376957247901466071147513$

t(15) := 0$

t(16) := 

20667403333394079253304664685077788651865766621878024093070894329661205.506789\
38971150886421281$

t(17) := 

906450859895924560495888498222650293648359950333177148016386935844.21941872216\
689439$

t(18) := - 
55242159793777147410364343715233148256990306709665248559781550.9058920657701547$

t(19) := - 
16279399009539245745659540870001333108615235753769869094725.055062922133127$

t(20) := 0$

t(21) := - 
11553317602807885324795961579138538164936815762289976.814389083214838584$

t(22) := 25291922427566184313788067346969907912398651177922.81162436303916$

t(23) := 0$

t(24) := - 95478594383391793803180919232259944913149870.350114670789738753$

t(25) := 0$

t(26) := 0$

t(27) := - 789809998825346369987261104083803489684.5516839650229179$

t(28) := - 7130030931856561784529910339177479075.47136216872206$

t(29) := 0$

t(30) := 0$

t(31) := - 681500048611159977143858036826989.1192143954378274$

t(32) := 23702464396157510272556638243492.5767429429156$

t(33) := - 1206706386657301981151550891981.4649828812127$

t(34) := 185244168637809133888016876576.3977649815244$

t(35) := 0$

t(36) := 896148501102143827780865649.056507576163826$

t(37) := - 473620382027359942712402247.869064826654$

t(38) := - 30539341852964064313180623.7654107381355$

t(39) := 0$

t(40) := 0$

t(41) := 0$

t(42) := 17887743689306242195180.505846212286179$

t(43) := 6429550741850582916459.4000079441379$

t(44) := - 2762582195494791384703.150433521969$

t(45) := 0$

t(46) := 0$

t(47) := 0$

t(48) := - 2324663733836091895.423179070150919$

t(49) := 0$

t(50) := 0$

t(51) := 124897864676152106.9695564614487$

t(52) := 0$

t(53) := - 39318902702708395.6621000656839$

t(54) := - 3780415831433575.6084029456651$

t(55) := 0$

t(56) := - 283674101024237.5063807196981$

t(57) := 235056197520887.480187107817$

t(58) := 0$

t(59) := - 115842930553315.016749655118$

t(60) := 0$

t(61) := - 35113131351459.1468425893897$

t(62) := 12227867395983.685302776678$

t(63) := 2630810836497.4682597355395$

t(64) := 2441961456648.624086192557$

t(65) := 0$

t(66) := - 445899676621.3883196494486$

t(67) := - 349553228850.989603702593$

t(68) := - 118447343337.147079034207$

t(69) := 0$

t(70) := 0$

t(71) := 0$

t(72) := 3663423735.03960176611819$

t(73) := 20511637850.77847211184$

t(74) := 3201447309.0065847618363$

t(75) := 0$

t(76) := 2034284831.885585389844$

t(77) := 2595353016.901182996317$

t(78) := 0$

t(79) := 0$

t(80) := 0$

t(81) := - 246295392.7878120033387$

t(82) := 0$

t(83) := - 31501914.9348508063765$

t(84) := 22519937.938630167419$

t(85) := 0$

t(86) := - 20641072.174122690619$

t(87) := 0$

t(88) := 3119828.8744769323185$

t(89) := 0$

t(90) := 0$

t(91) := 0$

t(92) := 0$

t(93) := 3146705.55521874493$

t(94) := 0$

t(95) := 0$

t(96) := 96306.37431131007617$

t(97) := 0$

t(98) := 0$

t(99) := - 383539.42933857271$

t(100) := 0$

t(101) := 306468.661337514042$

t(102) := - 230767.453571350339$

t(103) := 0$

t(104) := 0$

t(105) := 0$

t(106) := - 70972.2393080120499$

t(107) := 0$

t(108) := 33590.209434412711$

t(109) := - 2205.3724639855506$

t(110) := 0$

t(111) := 12166.12897397441$

t(112) := - 12590.018778048684$

t(113) := 0$

t(114) := 6504.6246847185273$

t(115) := 0$

t(116) := 0$

t(117) := 0$

t(118) := 2371.783733219912$

t(119) := 521.1894471713266$

t(120) := 0$

t(121) := - 2772.23360602359$

t(122) := 727.387074013241$

t(123) := 0$

t(124) := - 783.754878550522$

t(125) := 0$

t(126) := 140.209293312099$

t(127) := 1081.46194554012$

t(128) := - 407.9658015343132$

t(129) := 933.687658234734$

t(130) := 0$

t(131) := 0$

t(132) := 33.3669457466735$

t(133) := 225.82846750291$

t(134) := 236.675651959201$

t(135) := 0$

t(136) := 75.4787604700645$

t(137) := - 186.36789146153$

t(138) := 0$

t(139) := 0$

t(140) := 0$

t(141) := 0$

t(142) := 0$

t(143) := 0$

t(144) := - 2.72167989843604$

t(145) := 0$

t(146) := 47.1121121926293$

t(147) := 0$

t(148) := - 39.180862184586$

t(149) := - 29.898783160802$

t(150) := 0$

t(151) := 0$

t(152) := 8.553355865012$

t(153) := 6.90190020446$

t(154) := 2.4270745418037$

t(155) := 0$

t(156) := 0$

t(157) := 0$

t(158) := 0$

t(159) := 5.1639892210306$

t(160) := 0$

t(161) := 0$

t(162) := - 3.0315068434988$

t(163) := 0$

t(164) := 0$

t(165) := 0$

t(166) := - 2.8709093900987$

t(167) := 0$

t(168) := 2.4261967611585$

t(169) := 0$

t(170) := 0$

t(171) := 2.0180306676496$

t(172) := 2.7826165778986$

t(173) := 0$

t(174) := 0$

t(175) := 0$

t(176) := - 0.73051301766582$

t(177) := - 0.29688077130683$

t(178) := 0$

t(179) := 0$

t(180) := 0$

t(181) := 0$

t(182) := 0$

t(183) := 0.98130095750553$

t(184) := 0$

t(185) := 0$

t(186) := 0.27000839085032$

t(187) := 1.1102436539792$

t(188) := 0$

t(189) := 0.41638953115812$

t(190) := 0$

t(191) := 0.53495973448487$

t(192) := - 0.12015047704749$

t(193) := - 0.41988633092102$

t(194) := 0$

t(195) := 0$

t(196) := 0$

t(197) := 0.10222435860785$

t(198) := 0.29136038804454$

t(199) := - 0.17220792647499$

t(200) := 0$

t(201) := - 0.17707571548646$

t(202) := 0.072166712944328$

t(203) := 0$

t(204) := 0.17096910659204$

t(205) := 0$

t(206) := 0$

t(207) := 0$

t(208) := 0$

t(209) := 0.025792598279001$

t(210) := 0$

t(211) := 0$

t(212) := 0.13572367635812$

t(213) := 0$

t(214) := 0$

t(215) := 0$

t(216) := 0.034168428975676$

t(217) := - 0.0055355590174119$

t(218) := 0.050307742504395$

t(219) := 0.018169248768499$



comment The partial sum up to the 218-th term is: $

Rademacher(1234567) := 

715490880908500090668830204971571483282076915621981638292949344880079431938962\
576616856283139608159603320390006454590993465575888598311877101185251260952638\
104333567814638303161155133579697248237093428793577819038063905854717015597399\
585216283540966035978582677467955302786975214400242521093365769853143215687615\
543827820468133192277814647650183125609480408170481114482606332411772207385499\
476998482655218827261186031705023313307874014273301300297053610135197709439985\
904984032185374946844419382113860443967309684571387268375077055167683611188310\
415800797515219481885264654498863641033307739629340318142909047961816717509906\
614107279872260031591720788939374903950765979735315678089144732619652605808474\
114613478434026005648501990752745685391025741304143212857264644778423070157425\
057048329987584461419238739968247601641309036259438588634451037030651237617671\
625440399708457144457034822188531540046055848922280658862841197257208456619585\
063106990471776117839733933821863731203738887642219959698259472920648551500949\
773500258044342763418353205860697591237423169787525187299963229569479391673799\
046398119149345658525737875496420744725360387951929243107396970737312263130169\
8197398456788392768874673519277489020839294797279106528252500.0027065859747$

comment The partial sum up to the 217-th term is: $

Rademacher(1234567) := 

715490880908500090668830204971571483282076915621981638292949344880079431938962\
576616856283139608159603320390006454590993465575888598311877101185251260952638\
104333567814638303161155133579697248237093428793577819038063905854717015597399\
585216283540966035978582677467955302786975214400242521093365769853143215687615\
543827820468133192277814647650183125609480408170481114482606332411772207385499\
476998482655218827261186031705023313307874014273301300297053610135197709439985\
904984032185374946844419382113860443967309684571387268375077055167683611188310\
415800797515219481885264654498863641033307739629340318142909047961816717509906\
614107279872260031591720788939374903950765979735315678089144732619652605808474\
114613478434026005648501990752745685391025741304143212857264644778423070157425\
057048329987584461419238739968247601641309036259438588634451037030651237617671\
625440399708457144457034822188531540046055848922280658862841197257208456619585\
063106990471776117839733933821863731203738887642219959698259472920648551500949\
773500258044342763418353205860697591237423169787525187299963229569479391673799\
046398119149345658525737875496420744725360387951929243107396970737312263130169\
8197398456788392768874673519277489020839294797279106528252499.9523988434703$

comment The partial sum up to the 216-th term is: $

Rademacher(1234567) := 

715490880908500090668830204971571483282076915621981638292949344880079431938962\
576616856283139608159603320390006454590993465575888598311877101185251260952638\
104333567814638303161155133579697248237093428793577819038063905854717015597399\
585216283540966035978582677467955302786975214400242521093365769853143215687615\
543827820468133192277814647650183125609480408170481114482606332411772207385499\
476998482655218827261186031705023313307874014273301300297053610135197709439985\
904984032185374946844419382113860443967309684571387268375077055167683611188310\
415800797515219481885264654498863641033307739629340318142909047961816717509906\
614107279872260031591720788939374903950765979735315678089144732619652605808474\
114613478434026005648501990752745685391025741304143212857264644778423070157425\
057048329987584461419238739968247601641309036259438588634451037030651237617671\
625440399708457144457034822188531540046055848922280658862841197257208456619585\
063106990471776117839733933821863731203738887642219959698259472920648551500949\
773500258044342763418353205860697591237423169787525187299963229569479391673799\
046398119149345658525737875496420744725360387951929243107396970737312263130169\
8197398456788392768874673519277489020839294797279106528252499.9579344024877$

comment The partial sum up to the 219-th term is: $

Rademacher(1234567) := 

715490880908500090668830204971571483282076915621981638292949344880079431938962\
576616856283139608159603320390006454590993465575888598311877101185251260952638\
104333567814638303161155133579697248237093428793577819038063905854717015597399\
585216283540966035978582677467955302786975214400242521093365769853143215687615\
543827820468133192277814647650183125609480408170481114482606332411772207385499\
476998482655218827261186031705023313307874014273301300297053610135197709439985\
904984032185374946844419382113860443967309684571387268375077055167683611188310\
415800797515219481885264654498863641033307739629340318142909047961816717509906\
614107279872260031591720788939374903950765979735315678089144732619652605808474\
114613478434026005648501990752745685391025741304143212857264644778423070157425\
057048329987584461419238739968247601641309036259438588634451037030651237617671\
625440399708457144457034822188531540046055848922280658862841197257208456619585\
063106990471776117839733933821863731203738887642219959698259472920648551500949\
773500258044342763418353205860697591237423169787525187299963229569479391673799\
046398119149345658525737875496420744725360387951929243107396970737312263130169\
8197398456788392768874673519277489020839294797279106528252500.0208758347418$

comment with the first 1-th fractional digits := 0$

comment Thus, one concludes that the exact value of p(1234567) is: $

p(1234567) := 
715490880908500090668830204971571483282076915621981638292949344880079431938962\
576616856283139608159603320390006454590993465575888598311877101185251260952638\
104333567814638303161155133579697248237093428793577819038063905854717015597399\
585216283540966035978582677467955302786975214400242521093365769853143215687615\
543827820468133192277814647650183125609480408170481114482606332411772207385499\
476998482655218827261186031705023313307874014273301300297053610135197709439985\
904984032185374946844419382113860443967309684571387268375077055167683611188310\
415800797515219481885264654498863641033307739629340318142909047961816717509906\
614107279872260031591720788939374903950765979735315678089144732619652605808474\
114613478434026005648501990752745685391025741304143212857264644778423070157425\
057048329987584461419238739968247601641309036259438588634451037030651237617671\
625440399708457144457034822188531540046055848922280658862841197257208456619585\
063106990471776117839733933821863731203738887642219959698259472920648551500949\
773500258044342763418353205860697591237423169787525187299963229569479391673799\
046398119149345658525737875496420744725360387951929243107396970737312263130169\
8197398456788392768874673519277489020839294797279106528252500$

comment The following is the timex report of the system in seconds:
real 36.34
user 35.74
sys 0.26
$